Množinově logický jazyk matematiky

¬ a        negace výroku a

a ∧ b        konjunkce výroků a a b

a ∨ b        disjunkce výroků a a b

a ⇒ b        implikace

a ⇔ b        ekvivalence

Definice. Indukcí podle složitosti definujeme formule výrokového počtu:

1. Každý výrok je formule výrokového počtu
2. Jsou-li a a b formule výrokového počtu, potom ¬ a, a ∧ b, a ∨ b, a ⇒ b, a ⇔ b jsou rovněž formule výrokového počtu.
3. Všechny formule výrokového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel 1) a 2).

Věta (o tautologiích výrokového počtu). Nechť a, b a c jsou formule výrokového počtu. Potom

1. a ∨ ¬a (zákon vyloučeného třetího)
2. (a ⇒ b) ⇔ (¬b ⇒ ¬a) (pravidlo kontrapozice)
3. ¬ (a ∨ b) ⇔ (¬a ∧ ¬b) (1. de Morganovo pravidlo)
4. ¬ (a ∧ b) ⇔ (¬a ∨ ¬b) (2. de Morganovo pravidlo)

Definice. Nechť M je množina. řekneme, že a(x) je predikát s volnou proměnnou x na množině M, jestliže platí: dosadíme-li za x v a(x) libovolný prvek množiny M, potom a(c) je výrok (pravdivý nebo nepravdivý).

∀ obecný kvantifikátor

∃ existenční kvantifikátor

Věta (o tautologiích predikátového počtu). Nechť a(x) je predikátová formule na množině M. Potom

1. ∀(x∈M) (a(x)) ⇔ ¬ ∃(x∈M) ¬ (a(x))
2. ∃(x∈M) (a(x)) ⇔ ¬ ∀(x∈M) ¬ (a(x))
3. ∀(x∈M) ¬ (a(x)) ⇔ ¬ ∃(x∈M) (a(x))
4. ∃(x∈M) ¬ (a(x)) ⇔ ¬ ∀(x∈M) (a(x))

axióm: prvotní zákon, který nelze dokázat

definice: vymezení obsahu a rozsahu nového pojmu

věta: předpoklad a závěr

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množina A je podmnožina (nebo část) množiny B, jestliže  ∀(x∈A) (x∈B).

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Potom

1. sjednocení množin A a B je množina A∪B = {x; x∈A ∨ x∈B}
2. průnik množin A a B je množina A∩B = {x; x∈A ∧ x∈B}
3. rozdíl množin A a B je množina A – B = {x; x∈A ∧ x∉B}

Věta (o vlastnostech množinových operací). Nechť A, B a C jsou množiny.

1. Je-li A ⊂ B a B ⊂ C, potom A ⊂ C.
2. Potom ∅ ⊂ A.
3. Potom A = B právě tehdy, jestliže (A ⊂ B)∧(B ⊂ A)
4. Potom A ⊂ A.
5. Potom A ∩ A = A a A ∪ A = A
6. Potom A ∩ ∅ = ∅ a A ∪ ∅ = A
7. Potom ∅ - A = ∅ a A - ∅ = A

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množiny A a B jsou disjunktní, jestliže A ∩ B = ∅.

Definice. Uspořádanou dvojicí prvků x a y rozumíme množinu [x,y] = {{x},{x,y}}.

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Kartézský součin množin A a B je množina A x B = {[x,y]; x∈A∧ y∈B}.

Definice. Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že f je zobrazení množiny A do množiny B, jestliže

1. f ⊂ A x B
2. ke každému x z množiny A existuje právě jedno y z množiny B tak, že [x,y] ∈ f.

Definice. Je-li f zobrazení A do množiny B, potom

definiční obor zobrazení f je množina D(f) = {x; x∈A ∧ ∃(y∈B) ([x,y]∈f)}

obor hodnot zobrazení f je množina H(f) = {y; y∈B ∧ ∃(x∈A) ([x,y]∈f)}.

Definice. Řekneme, že f je zobrazení množiny A na množinu B, jestliže

1. f: A → B a
2. H(f) = B.

Definice. Řekneme, že f je prosté zobrazení množiny A do množiny B, jestliže

1. f: A → B a
2. ∀(x1∈A) ∀(x2∈A) (x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)).

Definice. Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Řekneme, že g je inverzní zobrazení k zobrazení f, jestliže g = {[x,y];[y,x] ∈ f}.

Věta (o vlastnostech inverzního zobrazení). Nechť f je prosté zobrazení množiny A na množinu B.

1. f-1 je prosté zobrazení množiny B na množinu A, přičemž platí (f-1)-1 = f
2. D(f-1) = H(f) ∧ H(f-1) = D(f)
3. ∀(x∈A) ∀(y∈B) (y = f(x) ⇔ x = f-1(y))
4. f-1[f] = IA, tj. ∀(x∈A) (f-1(f(x)) = x)
5. f[f-1] = IB, tj. ∀(x∈B) (f(f-1(x)) = x).

Definice. Nechť f: A → B a g: B → C.

Potom složené zobrazení vnějšího zobrazení g a vnitřního zobrazení f je zobrazení h definované předpisem ∀(x∈A) (h(x) = g(f(x))).

Množinu všech přirozených čísel budeme značit symbolem N0, symbolem N budeme označovat množinu N0 - {0}.

Prvky množiny Z budeme nazývat celá čísla.

Prvky množiny Q budeme nazývat racionální čísla.

Reálná čísla, která nejsou racionální, budeme nazývat iracionální (R – Q).

Množinu všech reálných čísel budeme značit R.

Definice. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla taková, že a < b. Potom

1. otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

(a,b) = {x; x∈R* ∧ a < x < b}

2. uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

<a,b> = {x; x∈R* ∧ a ≤ x ≤ b}

3. zleva otevřeným a zprava uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

(a,b> = {x; x∈R* ∧ a < x ≤ b}

4. zleva uzavřeným a zprava otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu

<a,b) = {x; x∈R* ∧ a ≤ x < b}.

Definice. Nechť M je množina taková, že M ⊂ R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

1. a je horní závora množiny M, jestliže ∀(x∈M) (x ≤ a)
2. b je dolní závora množiny M, jestliže ∀(x∈M) (x ≥ b).

Definice. Nechť M je množina taková, že M ⊂ R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

1. a je maximum množiny M, jestliže a ∈ M a a je horní závora množiny M
2. b je minimum množiny M, jestliže b ∈ M a b je dolní závora množiny M.

Definice. Nechť M je množina taková, že M ⊂ R*. Nechť a a b jsou zobecněná reálná čísla. Řekneme, že

1. a je suprémum množiny M, jestliže a je nejmenší horní závora množiny M
2. b je infímum množiny M, jestliže b je největší dolní závora množiny M.

Věta (o suprému a infímu). Nechť M je množina taková, že M ⊂ R*. Potom existují suprémum a infímum množiny M.

Věta (o suprému a maximu). Nechť M je množina taková, že M ⊂ R*. Potom sup(M)∈M právě tehdy, jestliže existuje maximum množiny M, přičemž max(M) + sup(M).

Věta (o infímu a minimu). Nechť M je množina taková, že M ⊂ R*. Potom inf(M) ∈ M právě tehdy, jestliže existuje minimum množiny M, přičemž min(M) = inf(M).

sup (0,1) = 1        inf (0,1) = 0

sup {1/n; n∈N} = 1        inf {1/n; n∈N} = 0

sup •0,1> = 1                inf <0,1> = 0

sup {1} = inf {1} = 1

sup { } = - ∞                inf { } = ∞

Definice. Množina M ⊂ R* se nazývá shora omezená, jestliže sup M < ∞.

Množina M ⊂ R* se nazývá zdola omezená, jestliže - ∞ < inf M.

Množina M ⊂ R* se nazývá omezená, jestliže je omezená shora i zdola.

sup <1,∞) = ∞

sup R = ∞

sup R* = ∞

sup {(n2 + 1)/n, n∈N} = ∞

Věta (Archimedova). Množina přirozených čísel není shora omezená, tj. sup N = ∞.

sup <0,1) = 1                inf <0,1) = 0

max <0,1) neexistuje        min <0,1) = 0

Definice. Rozšířenou číselnou osou R* rozumíme množinu R U{-∞, ∞}, kde definujeme

1. -∞ • ∞,                 ∀a∈R         -∞ • a• ∞
2. ∞ + ∞ = ∞,         ∀a∈R         a + ∞ = ∞
3. -∞ . ∞ = -∞,        ∀a∈R        a - ∞ = -∞
4. ∞ . ∞ = ∞, -∞ . ∞ = -∞, -∞.(-∞) = ∞
5. ∀a∈R, a • 0        a . ∞ = ∞

∀a∈R, a • 0        a . ∞ = -∞

6. 1/∞ = 0

a pro takto definované operace platí komutativní zákon.

Prvky rozšířené číselné osy nazýváme zobecněná reálná čísla, prvky a∈R, tj. reálná čísla, nazýváme vlastní body, prvky -∞, ∞ nazýváme nevlastní body.

Poznámka. Nedefinujeme tzv. neurčité výrazy: -∞ + ∞, 0(± ∞), ± ∞ / ± ∞, 1/0 (= ± ∞)