Přehled vysokoškolských definic

Základní vysokoškolské matematické definice - přehled.

Hodnost matice

  • Maximální počet LN řádků matice A se nazývá hodnost matice A.

Regulární a singulární matice

  • Regulární matice - Čtvercová matice, která má LN řádky
  • Singulární matice - Čtvercová matice, která má LZ řádky

Jordanova metoda

  • Matici převedu na jednotkovou matici, řešením je vektor, jehož čísla jsou v sloupci pravých stran.

Lineární kombinace vektorů

  • Říkáme, že vektor x je lin. kombinací vektorů x1…..xr jestliže existují reálná čísla c1…..cr taková, že platí: x=c1x1+ c2x2+…+ crxr.

  • Reálná čísla c1…..cr se nazývají koeficienty lineární kombinace. Pokud všechny koeficienty lineární kombinace jsou rovny nule, hovoříme o tzv. triviální lineární kombinaci

Lineární závislost a nezávislost vektorů

  • Vektory x1, ..., xr se nazývají LZ, jestliže existuje jejich netriviální LK, která je rovna nulovému vektoru, tj. jestliže existují reálná čísla c1,...,cr , z nichž je alespoň jedno různé od nuly
  • v opačném případě jsou LN
  • postačující podm: Vektory x1, ..., xr jsou LZ tehdy a jen tehdy, když alespoň jeden z nich je LK ostatních

Frobeniova podmínka

  • Soustava lineárních rovnic má řešení tehdy a jen tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy.
  • Věta o počtu řešení soustavy
  • předpokládejme, že soustava lineárních rovnic má řešení, h je hodnost matice soustavy a n je počet neznámých. Potom platí:
  • jestliže h = n, pak soustava má právě jedno řešení
  • jestliže h < n, pak soustava má nekonečně mnoho řešení, přičemž za n-h neznámých lze volit libovolná reálná čísla a ostatní neznámé jsou určeny jednoznačně

Cramerovo pravidlo

  • Mějme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých x1,…, xn. Jestliže matice soustavy A je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, které se dá zapsat ve tvaru cramerovo pravidlo, kde Aj je matice, která vznikne z matice soustavy A po náhradě j-tého sloupce sloupcem pravých stran rovnic soustavy.

Kolmý (ortogonální vektor)

  • Vektory jsou k sobě navzájem kolmé, je li jejich skalární součin roven O

Homogenní soustava lineárních rovnic a její řešitelnost

  • Soustava s nulovými pravými stranami.
  • Homogenní soustava má vždy řešení pokud - h = n → Jedno řešení a to „triviální“

- h < n → ∞ mnoho řešení a to „triviální“ řeš. a ∞ mnoho řešení „netriviálních“ (pokud se alespoň jeden prvek ≠ 0)

Spojitost funkce

 

  • Nechť funkce f je definována v okolí bodu c. Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě c, jestliže pro každou posloupnost (xn) obsaženou v D(f) platí: když xn c, pak f (xn) f(c)

Bolzanova věta

  • Je-li funkce f spojitá v intervalu <a,b> a f(a) * f(b) < 0, pak existuje c ϵ (a,b) takové, že f(c) =0

Weierstrassova věta

  • Funkce spojitá v uzavřeném intervalu <a,b> má v tomto intervalu maximum i minimum.

Derivace funkce v bodě c

  • Nechť funkce f je definována v okolí bodu c. Číslo f´(c), definované vztahem f´(c) = derivace funkce v bodě c
  • Derivace v bodě c
  • Derivace funkce v bodě c je vlastní, když je funkce f spojitá v bodě c.
  • Výsledkem vlastní derivace je reálné číslo

Extrémy funkce

  • Je maximum nebo minimum funkce vzhledem k množině.
  • nechť M je podmnožina definičního oboru funkce f. Jestliže pro všechna x ϵ M platí f(x) ≤ f(c) říkáme, že funkce f má v bodě c maximum na množině M, resp. f(x) ≥ f(c) říkáme, že funkce f má v bodě c minimum na množině M.
  • M je okolí bodu c » lokální extrém, M = D(f) » absolutní extrém

Věta o významu 1.derivace pro průběh funkce

  • Nechť f je spojitá funkce v intervalu J. Jestliže f´(x) >0 → pak je funkce f v intervalu J rostoucí < 0 → pak je funkce f v intervalu J klesající

Věta o významu 2.derivace pro průběh funkce

  • Nechť f je spojitá funkce v intervalu J. Jestliže
    • f´´(x)>0 ve vnitřních bodech x ϵ J, pak je funkce konvexní v intervalu J
    • f´´(x)<0 ve vnitřních bodech x ϵ J, pak je funkce konkávní v intervalu J

Newtonův určitý integrál, jeho geometrická interpretace

  • Nechť k funkci f existuje v intervalu <a,b> primitivní funkce F. Reálné číslo Newtonův neurčitý integrál definované vztahem neurčitý integrál, se nazývá Newtonův určitý integrál funkce f od a do b.
  • Geometrická interpretace Grafická interpretace
  • Je-li funkce f v intervalu <a,b> spojitá a nezáporná, pak určitý integrál Newtonův integrál je roven obsahu plochy omezené grafem funkce f, osou x a přímkami x=a, x=b
  • Věta o aditivitě určitého integrálu
  • Jestliže existuje integrál Věta o aditivitě určitého integrálu

Nevlastní integrál

  • Integrál, kde není funkce v jednom z krajních bodů intervalu definována.
  • Nechť funkce f není v bodě a definována (resp. a= -∞) a v intervalu (a,b> k ní existuje primitivní funkce. Integrál    nazývá nevlastní integrál funkce f vlivem dolní meze.

Limita posloupnosti

  • Říkáme, že posloupnost (an) má limitu a ϵ R*, jestliže v každém okolí bodu a leží všechny členy posloupnosti an od jistého indexu n0 počínaje

Limita funkce

  • Nechť funkce f je definována v prstencovém okolí bodu c ϵ R*. Říkáme, že funkce f má v bodě c limitu a ϵ R*, jestliže pro každou posloupnost (xn) obsaženou v D (f) - {c} platí:
  • když xn c, pak f (xn) a
  • Skutečnost, že funkce f má v bodě c limitu a značíme: Limita funkce

 

Napsat komentář