De analysi indivisibilium (o analýze nekonečně malých velicin)
Definice: Nechť A je neprázdná množina
Konvergenční prostor je uspořádaná dvojice [A,τ], kde τ je zobrazení, které každému prvku a ∈ A prirazuje neprázdný systém podmnožin množiny A takový, že platí:
(i) ∀a ∈ A ∀U ∈ τ(a) (a ∈ U),
(ii) ∀a ∈ A ∀b ∈ A (a ≠ b ⇒ ∃U ∈ τ(a) ∃V ∈ τ(b) (U ∩ V = ∅) ).
Pozn: množina U ∈ τ(a) se nazývá okolí bodu a
τ(a) je systém všech okolí bodu a
zobrazení τ se nazývá konvergence na množině A
prvky konvengerčního prostoru nazýváme body
Definice: Nechť [A,τ] je konvergenční prostor, (an) posloupnost obsažená v množině A a bod a ∈ A.
Rekněme, že posloupnost (an) má limitu (nebo konverguje k) a v množině A a píšeme lim an = a, jestliže
∀U ∈ τ(a) ∃d ∈ R ∀n ∈ N (n ≥ d ⇒ an ∈ U).
Pozn: tzn. pro každé okolí bodu a existuje reálné císlo d, kdy pro každé n ∈ N platí, ...
Věta (o jednoznacnosti limity posloupnosti):
Nechť A je konvengerční prostor a (an) posloupnost obsažená v množině A.
Potom posloupnost (an) má v množině A nejvýše jednu limitu.
Věta (o limitě konstantní posloupnosti):
Nechť A je konvengerční prostor a a ∈ A.
Potom posloupnost (a) konverguje k limitě a v množině A, tj. limn ⎯• ∞ a = a.
Věta (o limitě vybrané posloupnosti):
Nechť A je konvengerční prostor, (an) a (bn) posloupnosti obsažené v množině A takové, že (bn) je vybraná posloupnost z posloupnosti (an), a bod a ∈ A.
Jesliže posloupnost (an) konverguje v množině A k limitě a, potom posloupnost (bn) rovnež konverguje v množině A k limitě a.
Standartní konvergence na R a R*
Definice: Nechť a je reálné císlo a ε kladné reálné císlo.
Potom ε - okolí reálného císla a je množina U(a,ε) = (a - ε, a + ε).
Definice: Standartní konvergence na R je zobrazení τs takové, že pro každé reálné císlo a je τs(a) = {U(a,ε); ε •0}.
Věta (o standartní konvergenci na R):
Množina všech reálných čísel R, na které je definována standartní konvergence τs, je konvengerční prostor.
Pozn: tuto množinu znacíme R1
Definice: (i) Nechť λ1 je reálné císlo.
Potom λ1 - okolí bodu ∞ je množina U(∞,λ1) = (λ1, ∞•.
(ii) Nechť λ2 je reálné císlo.
Potom λ2 - okolí bodu -∞ je množina U(-∞,λ2) = •-∞,λ2).
Definice: Standartní konvergence na R* je zobrazení τs* takové, že
∀a ∈ R ( τs*(a) = {U(a,ε); ε • 0} ),
( τs*(∞) = {U(∞,λ1); λ1 ∈ R},
(τs*(-∞) = {U(-∞,λ2); λ2 ∈ R}.
Věta (o standartní konvergenci na R*):
Rozšírená číselná osa R*, na které je definována standartní konvergence τs*, je konvengerční prostor.
Pozn: tuto množinu znacíme R1*
Věta (o limitě monotónní posloupnosti):
Nechť (an) je reálná posloupnost.
(i) Je-li posloupnost (an) neklesající, potom existuje limn ⎯• ∞ an a limn ⎯• ∞ an = sup ((an)).
(ii) Je-li posloupnost (an) nerostoucí, potom existuje limn ⎯• ∞ an a limn ⎯• ∞ an = inf ((an)).
Dusledek: omezená monotónní posloupnost je konvergentní
Věta (o limitě operací pro posloupnosti):
Nechť (an) a (bn) jsou reálné posloupnosti.
Potom
(i) limn ⎯• ∞ (an +- bn) = limn ⎯• ∞ an +- limn ⎯• ∞ bn ,
(ii) limn ⎯• ∞ (an bn) = limn ⎯• ∞ an * limn ⎯• ∞ bn ,
(iii) limn ⎯• ∞ (an / bn) = limn ⎯• ∞ an / limn ⎯• ∞ bn ,
(iv) limn ⎯• ∞ ⏐an⏐ = ⏐limn ⎯• ∞ an⏐,
pokud existují pravé strany.
Věta (o limitě sevřené posloupnosti - o dvou policistech):
Nechť (an), (bn) a (cn) jsou reálné posloupnosti takové, že (an) ≤ (cn) ≤ (bn) a limn ⎯• ∞ an = limn ⎯• ∞ bn.
Potom existuje limn ⎯• ∞ cn a platí limn ⎯• ∞ cn = limn ⎯• ∞ an = limn ⎯• ∞ bn.
Věta (o nulové limitě posloupnosti):
Nechť (an) je reálná posloupnost a a reálné císlo.
Potom
(i) limn ⎯• ∞ an = 0 práve tehdy, jestliže limn ⎯• ∞ ⏐an⏐ = 0,
(ii) limn ⎯• ∞ 1 / an = 0 práve tehdy, jestliže limn ⎯• ∞ ⏐an⏐ = ∞,
(iii) je-li limn ⎯• ∞ 1 / an = 0 a jsou-li všechna an od jistého indexu kladná (resp. záporná), je limn ⎯• ∞ an = ∞ (resp. limn ⎯• ∞ an = -∞) ,
(iv) limn ⎯• ∞ an = a práve tehdy, jesliže limn ⎯• ∞ ⏐an - a⏐ = 0.
Věta (o nerovnostech a posloupnostech):
Nechť (an) a (bn) jsou reálné posloupnosti takové, že existují limn ⎯• ∞ an a limn ⎯• ∞ bn.
(i) Jestliže (an) ≤ (bn), potom limn ⎯• ∞ an ≤ limn ⎯• ∞ bn.
(ii) Jestliže limn ⎯• ∞ an • limn ⎯• ∞ bn , potom existuje kladné prirozené císlo k takové, že
∀n ∈ N (n ≥ k ⇒ an • bn).
Věta (Bolzanova - Weierstrassova):
Nechť (cn) je reálná posloupnost obsažená v reálném intervalu •a,b•.
Potom existuje reálná posloupnost (dn) vybraná z posloupnosti (cn) taková, že existuje limn ⎯• ∞ dn a limn ⎯• ∞ dn ∈ •a,b•.
Věta (o aproximaci reálných čísel císly racionálními):
Ke každému reálnému císlu x existuje neklesající posloupnost racionálních čísel (an) taková, že limn ⎯• ∞ an = x.
Standartní konvergence na Rn
Definice: Nechť A = [a1, ....., an] je bod z Rn a ε kladné reálné císlo.
Potom ε - okolí bodu A je množina Un(A,ε) = (a1 - ε, a1 + ε) x ..... x (an - ε, an + ε).
Definice: Standartní konvergence na Rn je zobrazení τs takové, že pro každý bod A z množiny Rn je τs(A) = {Un(A,ε); ε • 0}.
Pozn: množinu Rn, na které je definována standartní konvergence τs , budeme oznacovat Rn
Věta (o standartní konvergenci na Rn):
Rn je konvengerční prostor.
Věta (o limitě posloupnosti v Rn):
Nechť (Ak) je posloupnost obsažená v Rn a A je bod z Rn.
Potom posloupnost (Ak) konverguje v Rn k bodu A práve tehdy, jestliže pro všechna prirozená císla i taková, že 1 ≤ i ≤ n, posloupnost i-tých souradnic bodu (Ak) konverguje (v R1) k i-té souradnici bodu A.
Spojitost zobrazení
Definice: Nechť A a B jsou konvengerční prostory, f: A ⎯• B, c ∈ A a M ⊂ A.
(i) Rekneme, že zobrazení f je spojité v bode c, jestliže pro všechny posloupnosti (an) obsažené v množině A platí:
limn ⎯• ∞ an = c ⇒ limn ⎯• ∞ f(an) = f(c).
(ii) Rekneme, že zobrazení f je spojité v množině M, jestliže pro všechny posloupnosti (an) obsažené v množině M a pro všechny body a z množiny M platí:
limn ⎯• ∞ an = a ⇒ limn ⎯• ∞ f(an) = f(a).
Pozn: f je spojité v množině M, je-li spojité ve všech bodech množiny M
Věta (o spojitosti superpozice):
Nechť A, B a C jsou konvengerční prostory, f: A ⎯• B, g: B ⎯• C, c ∈ A a M ⊂ A.
(i) Je-li zobrazení f spojité v bode c a zobrazení g spojité v bode f(c), potom zobrazení g[f] je spojité v bode c.
(ii) Je-li zobrazení f spojité v množině M a zobrazení g spojité v množině f(M), potom zobrazení g[f] je spojité v množině M.
Věta (o spojitosti operací):
Nechť f a g jsou reálné funkce takové, že D(f) = D(g). Nechť c ∈ D(f) a M ⊂ D(f).
(i) Jsou-li funkce f a g spojité v bode c (resp. v množině M), potom jsou funkce f + g, f - g, f g, ⏐f⏐ spojité v bode c (resp. v množině M).
(ii) Jsou-li funkce f a g spojité v bode c (resp. v množině M), pricemž g(c) ≠ 0 (resp. ∀x ∈ M (g(x) ≠ 0), potom je funkce f / g spojitá v bode c (resp. v množině M).
Věta (o spojitosti elementárních funkcí):
Každá elementární funkce je spojitá v libovolném bode svého definicního oboru.
Věta (Bolzanova):
Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné spojitá v reálném intervalu •a,b• taková, že f(a) * f(b) • 0.
Potom existuje reálné císlo c takové, že c ∈ (a,b) a f(c) = 0.
Věta (dusledek Bolzanovy vety):
Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné spojitá v intervalu (a,b) taková, že nemá v intervalu (a,b) žádný nulový bod.
Potom funkce f je stále kladná nebo stále záporná v intervalu (a,b).
Věta (Weierstrassova):
Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné spojitá v reálném intervalu •a,b•.
Potom funkce f nabývá v intervalu •a,b• jak svého maxima, tak i svého minima vzhledem k intervalu •a,b•.
Limita zobrazení
Definice: Nechť A je konvengerční prostor, M ⊂ A a c ∈A.
Rekneme, že c je hromadný bod množiny M (vzhledem k množině A), jestliže existuje posloupnost (an) obsažená v množině M taková, že ∀n ∈ N (an ≠ c) ∧ lim n ⎯• ∞ an = c.
Definice: Nechť A a B jsou konvengerční prostory, f: M ⎯• B, M ⊂ A, b ∈ B a c ∈A takový, že c je hromadný bod množiny M.
Rekneme, že zobrazení f má limitu b v bode c, jestliže pro všechny posloupnosti (an) obsažené v množině M platí:
(∀n ∈ N (an ≠ c) ∧ lim n ⎯• ∞ an = c) ⇒ lim n ⎯• ∞ f (an) = b.
Pozn: zobrazení f má limitu b v bode c ......... limx ⎯• c f(x) = b
Věta (o jednoznacnosti limity zobrazení):
Nechť A a B jsou konvengerční prostory, c ∈ A, f: M ⎯• B, kde M ⊂ A.
Potom zobrazení f má v bode c nejvýše jednu limitu.
Věta (o vztahu mezi limitou a spojitostí zobrazení):
Nechť A a B jsou konvengerční prostory, f: M ⎯•B, M ⊂ A a c ∈A, pricemž c je hromadný bod množiny M.
Potom zobrazení f je spojité v bode c práve tehdy, jestliže existuje lim x ⎯• c f(x) a lim x ⎯• c f(x) = f(c).
Věta (o limitě superpozice):
Nechť A, B a C jsou konvengerční prostory, f: M ⎯• N, g: N ⎯• C, kde M ⊂ A a N ⊂ B. Nechť existuje lim x ⎯• c f(x) = d.
(i) Nechť zobrazení g je spojité v bode d.
Potom existuje lim x ⎯• c (g[f])(x) a platí lim x ⎯• c g (f(x)) = g (limx ⎯• c f(x)) = g (d).
(ii) Nechť existuje okolí U bodu c takové, že ∀ x ∈ ( U-{c}) ∩ M (f(x) ≠ d) a existuje lim y ⎯• d g(y).
Potom existuje lim x ⎯• c (g[f])(x) a lim x ⎯• c g(f(x)) = lim y ⎯• d g(y).
Věta (o limitě operací pro reálné funkce):
Nechť f a g jsou reálné funkce takové, že D(f) = D(g). Nechť k je reálné císlo.
Potom
(i) lim x ⎯• c (f(x) +- g(x)) = lim x ⎯• c f(x) +- lim x ⎯• c g(x),
(ii) lim x ⎯• c (f(x) * g(x)) = lim x ⎯• c f(x) * lim x ⎯• c g(x),
(iii) lim x ⎯• c f(x)/g(x) = lim x ⎯• c f(x)/ lim x ⎯• c g(x),
(iv) lim x ⎯• c (k * f(x)) = k * lim x ⎯• c f(x),
(v) lim x ⎯• c ⏐f(x)⏐ = ⏐ lim x ⎯• c f(x)⏐, pokud existují pravé strany.
Definice: Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné, c ∈ R1 , c ∈ R1*.
Funkce f má v bode c limitu b zleva, jestliže pro každou posloupnost (an) obsaženou v D(f) platí
(∀n ∈ N an • c ∧ limn ⎯• ∞ an = c) ⇒ limn ⎯• ∞ f(an) = b.
Funkce f má v bode c limitu b zprava, jestliže pro každou posloupnost (an) obsaženou v D(f) platí
(∀n ∈ N an • c ∧ limn ⎯• ∞ an = c) ⇒ limn ⎯• ∞ f(an) = b.
Věta (o limitě sevrené funkce):
Nechť f, g a h jsou reálné funkce jedné reálné promenné takové, že existuje okolí U bodu c takové, že
∀ x ∈ U - {c} (f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)) ∧ lim x ⎯• c f(x) = lim x ⎯• c g(x).
Potom existuje lim x ⎯• c h(x) a platí lim x ⎯• c h(x) = lim x ⎯• c f(x) = lim x ⎯• c g(x).
Věta (o nulové limitě reálné funkce jedné reálné promenné):
Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné, b a c jsou zobecnená reálná císla.
Potom
(i) lim x ⎯• c f(x) = 0 práve tehdy, jesliže lim x ⎯• c ⏐f(x)⏐ = 0,
(ii) lim x ⎯• c 1 / f(x) = 0 práve tehdy, jestliže lim x ⎯• c ⏐f(x)⏐ = ∞,
(iii) je-li c ∈R, je lim x ⎯• c f(x) = b práve tehdy, jestliže lim h ⎯• 0 f(c+h) = b.
Věta (o nerovnostech a funkcích):
Nechť f a g jsou reálné funkce takové, že existují lim x ⎯• c f(x) a lim x ⎯• c g(x).
(i) Jestliže existuje okolí U bodu c takové, že
∀ x ∈ U - {c} (f(x) ≤ g(x)),
potom lim x ⎯• c f(x) ≤ lim x ⎯• c g(x).
(ii) Jestliže lim x ⎯• c f(x) • lim x ⎯• c g(x), potom existuje okolí U bodu c takové, že
∀ x ∈ U - {c} (f(x) • g(x)).
Věta (o vztahu mezi limitou reálné funkce jedné reálné promenné a limitou reálné posloupnosti):
Nechť f je reálná funkce jedné reálné promenné taková, že existuje lim x ⎯• ∞ f(x).
Potom existuje limita posloupnosti (f(n)) taková, že lim x ⎯• ∞ f(x) = lim n ⎯• ∞ f(n).