Matice
Definice. Schéma m.n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců se nazývá matice typu m x n. Značí se Amxn, příp. [aij]mxn Podobně značíme Brxs, příp. [bij]rxs atd. Čísla a11…amn se nazývají prvky matice A.
Definice. Matice, která má všechny prvky rovny nule, se nazývá nulová matice a značí se N.
Definice. Množina prvků {a11, a22,…,aKK}, kde k = min {m,n} se nazývá hlavní diagonála matice A.
Matice typu m x a, kde m ≤ a, která má všechny prvky pod hlavní diagonálou, tj. prvky aij, i • j, rovny nule, se nazývá (horní) trojúhelníková matice.
Matice o stejném počtu řádků a sloupců, tj. matice typu r x r, r ∈ N se nazývá čtvercová.
Čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu, tj. prvky aij, i = j, rovny nule, se nazývá diagonální matice.
Čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu rovny nule a všechny prvky na hlavní diagonále rovny jedné, se nazývá jednotková matice. Značí se J.
Definice. Tzv. řádky neboli řádkové vektory matice A (a11, a12,…,a1n),… (am1, am2,…,amn) generují tzv. řádkový prostor Vř, který je podprostorem prostoru Vn. Tzv. sloupce neboli sloupcové vektory matice A (a11, a12,…,a1n),… (am1, am2,…,amn) generují tzv. sloupcový prostor Vs, který je podprostorem prostoru Vm.
Věta (o hodnosti řádkového a sloupcového prostoru). Uvažujme matici A typu m x n. Hodnost řádkového prostoru (tj. maximální počet lineárně nezávislých řádků) matice A je roven hodnosti sloupcového prostoru (tj. maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců) této matice a platí
h(Vř) = h(Vs) ≤ min {m,n}.
Definice. Hodnost řádkového, resp. sloupcového prostoru matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(A).
Věta(o hodnosti trojúhelníkové matice). Trojúhelníková matice A typu m x n, m ≤ a s nenulovými prvky na hlavní diagonále, tj. aii ≠ 0, i = 1,…m, (označme ji AΔmxn):
má hodnost rovnou počtu řádků, tj. h(AΔmxn) = m.
Poznámka. Elementárními úpravami α, β, γ, δ, ε řádků matice se nezmění její řádkový prostor a tedy ani hodnost matice.
Věta (o záměně sloupců matice). Záměnou sloupců matice se její hodnost nezmění (úprava ζ).
Převod matice Amxn na trojúhelníkový tvar AΔmxn
- Je-li a11 = 0, záměnou řádků (úprava α) nebo sloupců (úprava ζ) matice A se na jeho místo přesune nenulový prvek.
- Úpravami γ (přičítáním vhodného násobku obvykle 1. řádku ke 2. až k m-tému řádku upravené matice A) se anulují prvky 1. sloupce matice pod hlavní diagonálou.
- Pokud je a22 = 0, záměnou řádků nebo sloupců se na jeho místo přesune nenulový prvek.
- Úpravami γ (přičítáním vhodného násobku obvykle 2. řádku až k 3. až k m-tému řádku upravené matice A) se anulují prvky 2. sloupce matice pod hlavní diagonálou
- atd., vzniklé nulové řádky matice se vynechají (elementární úprava ε)
- Po konečném počtu úprav vznikne matice AΔmxn o téže hodnosti jako původní matice A.
Definice. Matice AT, která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A.
Poznámka. Zmíněnou záměnou se zamění pořadí indexů u jednotlivých prvků matice A, tj. aTij = aji, i = 1, m, j = 1,…,a; při transpozici se tedy matice A překlopí pod hlavní diagonálu.
Věta (o hodnosti navzájem transponovaných matic). Navzájem transponované matice mají stejnou hodnost h(AT) = h(A).