Parádně zpracovaný tahák na různá témata, viz dále
Nevlastní integrál
1∫∞1/x dx = lim(t→∞) 1∫t1/x dx
0∫11/xα α=1 (∞),α>1 (D), 0<α<1 (K-číslo)
1∫∞1/xα α=1 (∞),α>1 (K), 0<α<1 (D)
Funkce Gama
Γ(t) = 0∫∞e-xxt-1dx, Γ(1)=1, Γ(n+1)=n.Γ(n)=n!, Γ(½)= π/2
Funkce Beta
B(r,s)= 0∫1xr-1(1-x)s-1dx, B(r,s)= Γ(r).Γ(s)/ Γ(r+s)
Nekonečné řady
lim sn=R (K), =±∞ (D), =neex.(osciluje)
lim an≠0 ⇒D, K⇒lim an=0
Limity podíly a odmocninné kriterium
lim an+1/an=L
lim n√an=L
L<1⇒K, L>1⇒D, L=1 (nevím nic)
Srovnávací kriterium
0≤div.minoranta≤bn, 0 ≤bn≤konv.majoranta
Integrálání kriterium
fce na •1,∞), spojitá,klad.,kles.
1∫∞f(x)dx <∞ (R) ⇒K
Σ1/nα , α>1 (K), α∈(0;1• (D)
Geometrická řada
Σan=lim a1.(1-qn)/(1-q)
|q|<1, a1/(1-q) je R, K
q>1, pro a1>0 vyjde ∞, pro a1<0 vyjde -∞, D
q=1 D, q≤-1 lim neex.,oscil.
Aritmetická řada
Σan=lim an= ±∞ D
Alternující řada Leibnizovo kriterium
an=(-1)n.rn, rn>0, rn+1≤ rn (nerost.), lim rn=0, K
Absolutní konv.
Σ|an| K ⇒ Σan K
Mocninné řady
Σcn(x-s)n, s..střed, cn..poslouop., ρ..poloměr
ρ=lim|cn|/|cn+1|, ρ=lim 1/n√|cn|
IK: x∈(s-ρ,s+ρ), K
OK:vyšetř.v kraj.bodech,zda je K
OAK: ( ),• •
Funkce více proměnných
- Topol.vlast.: otevř (bez hranice),uzavř.(s hr.body),omezená (do čtverce), neom.(do nekoneč.), (kompakt.(uz+om)
1.deriv.:vektor parc.derivací f‘(x,y)=( , ), v bodě f‘(2,3)=(5,6)
2.deriv.:matice, f‘‘(x,y)= [∂xx ∂xy pod to: ∂yx ∂yy], v bodě-symetr.matice
Totál.diferenciál (u fce hladké)
f‘(x,y).(h1,h2), v bodě-za x,y čísla
Rovnice tečné nadroviny (v bodě C, hladká)
z-f(C)= f‘(C)(X-C)
Lokální extrémy
derivace= ō, podezř.body, 2.der.v podezř.bodech
matice PD-Lmin, ND-Lmax, IN-sedlový bod
(Sylv.věta: PD:D1,2,3,4..+, ND:-+-+, IN:+-+-nebo 2liché s opač.znam.)
Vázané extrémy, extrém vzhledem ke komp.množ.
1)dosaz.metoda (vazeb.podm.-přímka),
g(x) dosazeno do f(x,y) za y, g‘(x)=0, podezř.body, g‘‘(x)-max,min
2)Jakobián (elipsa,kruž.)
det |∂f-x ∂ f-y pod to: ∂g-x ∂g-y| =0, x,y dosadit do vaz.podm., podezř.body i na hranici (někt.vyloučit), body dosadit: f(P1)=..vyšší č.-max, f(P2)=..nižší č.-min
3)Lagrang.multipl.
f(x,y)=f(x)+λ(f(y)), parc.der. podle x a y: Lx(x,y)=...=0, Ly(x,y)=...=0, vypočítat x,y, 2.der.-do matice,dosadit za neznámé, PD, ND, IN
Diferenciální rovnice
1)postupně intergovat-obecné řeš., počát.podmínky-dosadit za x,y,y‘..., vyjdou konstanty-partik.řeš.
2)separace prom.: y‘=dy/dx, x na jednu str.,y na druhou, zintegrovat obě str., c=...=D, param. (D=0?) – obec.řeš.: y=...
3)variace konst.: D(x)