Extrémy funkce

Definice. Řekneme, že f je reálná funkce, jestliže f je zobrazení takové, že H(f) ⊂ R.

Definice. Nechť f a g jsou funkce takové, že D(f) = D(g). Nechť c je reálné číslo. Potom definujeme

1. součet funkcí f a g, který označíme f + g, předpisem

∀(x∈D(f)) ((f + g)(x) = f(x) + g(x))

2. rozdíl funkcí f a g, který označíme f – g, předpisem

∀(x∈D(f) ((f - g)(x) = f(x) – g(x))

3. c násobek funkce f, který označíme c . f, předpisem

∀(x∈D(f) ((c . f)(x) = c . f(x))

4. součin funkcí f a g, který označíme f . g, předpisem

∀(x∈D(f)) ((f . g)(x) = f(x) . g(x))

5. podíl funkcí f a g, který označíme f/g, předpisem

∀(x∈D(f)) (g(x) ≠ 0 ⇒ (f/g)(x) = f(x)/g(x))

6. absolutní hodnotu funkce f, kterou označíme |f|, předpisem

∀(x∈D(f)) ((|f|(x) = |f(x)|).

Definice. Nechť f je reálná funkce, M množina taková, že M ⊂ D(f), a c ∈ D(f).

1. Suprémum (resp. infímum) funkce f na množině M je suprémum (resp. infímum) množiny f(M).
2. Maximum (resp. minimum) funkce f na množině M je maximum (resp. minimum) množiny f(M).
3. Extrém funkce f v množině M je maximum funkce f v množině M nebo minimum funkce f v množině M.
4. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě c maxima (resp. minima) vzhledem k množině M, jestliže c ∈ M a f(c) = max(f(M)) (resp. f(c) = min(f(M))).
5. Řekneme, že funkce f nabývá v bodě c extrému vzhledem k množině M, jestliže funkce f nabývá v bodě c maxima nebo minima vzhledem k množině M.
6. Řekneme, že funkce f je omezená (resp. shora omezená, resp. zdola omezená) v množině M, jestliže množina f(M) je omezená (resp. shora omezená, resp. zdola omezená).

Definice. Řekneme, že f je reálná funkce jedné reálné proměnné, jestliže f je reálná funkce taková, že D(f) ⊂ R.

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M ⊂ D(f). Řekneme, že

1. funkce f je rostoucí v množině M, jestliže ∀(x1∈M) ∀(x2∈M) (x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2))
2. funkce f je klesající v množině M, jestliže ∀(x1∈M) ∀(x2∈M) (x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2))
3. funkce f je ryze monotónní v množině M, jestliže f je rostoucí v množině M nebo f je klesající v množině M
4. funkce f je nerostoucí v množině M, jestliže ∀(x1∈M) ∀(x2∈M) (x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2))
5. funkce f je neklesající v množině M, jestliže ∀(x1∈M) ∀(x2∈M) (x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2))
6. funkce f je monotónní v množině M, jestliže f je nerostoucí v množině M nebo f je neklesající v množině M.

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M ⊂ D(f). Řekneme, že

1. funkce f je sudá v množině M, jestliže ∀(x∈M) (-x∈M ∧ f(-x) = f(x))
2. funkce f je lichá v množině M, jestliže ∀(x∈M) (-x∈M ∧ f(-x) = -f(x))
3. funkce f je periodická v množině M, jestliže existuje reálné číslo p takové, že

p ≠ 0 ∧ ∀(x∈M) (x + p ∈ M ∧ f(x+p) = f(x)).

Definice. Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné a M množina taková, že M ⊂ D(f). Řekneme

1. že funkce f je konvexní v množině M, jestliže

∀(x1∈M) ∀(x2∈M) ∀(x3∈M) (x1 < x2 < x3 ⇒ (f(x2) – f(x1))/(x2 – x1) < (f(x3) – f(x2)/(x3 – x2))

2. že funkce f je konkávní v množině M, jestliže

∀(x1∈M) ∀(x2∈M) ∀(x3∈M) (x1 < x2 < x3 ⇒ (f(x2) – f(x1))/(x2 – x1) > (f(x3) – f(x2)/(x3 – x2)).

Definice. Nechť b je reálné číslo. Potom konstantní funkcí rozumíme funkci f definovanou předpisem

∀(x∈R) (f(x) = Kb(x) = b).

Definice. Identickou funkcí rozumíme funkci definovanou předpisem f = IR.

Definice. Základní exponenciální funkcí rozumíme reálnou funkci jedné reálné proměnné definovanou předpisem ∀(x∈R) (exp x = ex).

D(sin) = (-∞,∞) ∧ H(sin) = <-1,1>

D(cos) = (-∞,∞) ∧ H(cos) = <-1,1>

D(tg) = R - {π/2 + kπ; k∈Z} ∧ H(tg) = (-∞,∞)

D(cotg) = R - {kπ; k∈Z} ∧ H(cotg) = (-∞,∞)

Inverzní funkce:

• identická funkce x identická funkce –1
• n-tá mocnina x n-tá odmocnina
• exponenciální x logaritmické
• goniometrické x cyklometrické

Definice. Elementární funkce definujeme indukcí podle složitosti

1. každá konstantní funkce Kb taková, že D(Kb) = R ∧ b∈R, je elementární
2. identická funkce IR je elementární funkce
3. pro každé n∈N je funkce n-tá odmocnina elementární
4. funkce exp a ln jsou elementární
5. funkce sin, arcsin a arctg jsou elementární (cos, tg, cotg, arccos i arccotg také)
6. jsou-li funkce f a g elementární, potom jsou funkce f + g, f – g, f . g, f/g a f[g] rovněž elementární

Definice. Řekneme, že f je komplexní funkce reálné proměnné, jestliže f je zobrazení takové, že

D(f) ⊂ R a H(f) ⊂ C.

Definice. Nechť A je množina. Řekneme, že a je posloupnost obsažená v množině A, jestliže a je zobrazení takové, že D(a) = N a H(a) ⊂ A.

Definice. Řekneme, že (an) je reálná (resp. komplexní) posloupnost, jestliže (an) je posloupnost obsažená v množině všech reálných (resp. komplexních) čísel R (resp. C).

Definice. Nechť (an) a (bn) jsou posloupnosti obsažené v množině A. Řekneme, že posloupnost (bn) je vybraná z posloupnosti (an), jestliže existuje posloupnost kladných přirozených čísel (kn) taková, že∀(n∈N) (bn = akn).